OpenAI заявляет об опровержении единичной гипотезы Эрдёша; математики верифицировали доказательство

OpenAI сообщила, что внутренняя модель рассуждения нашла конструкцию точек на плоскости, опровергающую единичную гипотезу Пауля Эрдёша, — утверждение, которое меняет представление о том, сколько пар точек могут находиться на расстоянии ровно одной единицы. По заявлению компании, открытие важно потому, что оно даёт заметно больше таких пар, чем давала традиционная слегка искажённая квадратная решётка, долго считавшаяся почти оптимальной. Проблема проста по формулировке: для N точек на плоскости — сколько пар находятся на расстоянии ровно единицы? Эрдёш в 1946 году предположил, что оптимальна конструкция, близкая к квадратной решётке, которая даёт число пар, растущее лишь немного быстрее числа точек; он якобы предлагал $500 за опровержение этой гипотезы. Новая конструкция, по оценкам участников, превышает классическую решётку по числу единичных пар.

Технический вклад модели описывают как неожиданный: она использовала приемы алгебраической теории чисел и расширенные числовые системы, чьи внутренние симметрии обеспечивают особенно плотные схемы точек. Применение таких инструментов к элементарной задаче планарной геометрии участники называют сюрпризом, ранее считавшимся маловероятным для человеческих авторов. Сопроводительная работа включала внешний контроль: к публикации прилагалась статья, подготовленная девятью внешними математиками, которые верифицировали, сократили и прокомментировали доказательство. Публикация появилась 21 мая 2026 года и содержит как само доказательство модели, так и замечания и доработки со стороны специалистов.

Уилл Соуин (Princeton) оценивает выигрыш новой конструкции примерно в один процент дополнительных единичных пар при удвоении числа точек по сравнению с классической решёткой. При этом теоретическое верхнее ограничение, установленное в 1984 году Спенсером, Шемереди и Троттером, остаётся значительно выше найденной конструкции, то есть задача пока не решена полностью. Томас Блум в сопроводительной заметке перечисляет четыре условий, которые, по его мнению, были бы необходимы человеку для нахождения этого решения: многолетняя работа над задачей, готовность поставить под сомнение мнение Эрдёша, желание переводить конструкцию в мир полей чисел и глубокое знание теории классов полей. «ИИ удовлетворил всем этим критериям», — пишет Блум и добавляет, что модель сочетает «сверхчеловеческое терпение с владением широким массивом технического аппарата».

Соуин подробно объясняет технический трюк: простое обобщение — брать одну расширенную числовую систему и увеличивать её куски — возвращает к старой границе Эрдёша; модель же, по его словам, сохранила масштаб внутри каждой числовой системы, переходя при этом к постепенно более богатым системам на каждом шаге. По словам Филдсовского лауреата Тима Гауэрса, этот результат — «веха в математике ИИ», и он предупреждает, что людям может стать труднее конкурировать с ИИ в решении математических задач.